01. 확률 변수, 확률 분포

• Sample Space는 시행에서 얻어지는 모든 결과의 집합.
• Sample Space의 모든 원소를 실수로 대응하는 함수: 확률 변수
• 확률 변수로 얻어진 실수를 확률값으로 변화하는 함수: 확률 분포
• 확률 변수와 확률 분포를 이용하여 시행의 결과를 실수로 변환할 수 있고, 발생 확률로 변환할 수 있다.

• 최종 확률분포표로 제시

02. 이산 확률 분포

• 확률 분포의 유형
  • 연속 확률 분포: 확률 분포가 연속적인 것: 무수히 많은 것
    • 정규분포
  • 이산 확률 분포: 확률 분포가 불연속 적인 것
    • 이항분포

이산 확률 분포

• 확률 분포가 셀수 있고 나열할 수 있는 분포
• 확률 분포는 실수를 확률로 변환하는 함수이다.
  • 이산 확률 분포에서 확률 함수를 확률 질량 함수라고 한다.

이산 확률 분포의 특징

|X|x_1|x_2|x_3|….|x_n| |—-|—-|—-|—-|—-| |P(X)|p_1|p_2|p_3|….|p_n|

• $0 \leq P(X=x_i) \leq 1$
  • 확률 분포에 나오는 확률값이 범위
• $\sum^{n}_{i=1}P(X=xi) = \sum^{n}{i=1}p_i= 1$
• $P(x_i \leq X \leq xj) = \sum^{j}{k=i}p_k$

3. 이산확률 변수의 기댓값

• 가능성(확률)로 계산한 평균: 기대값 $$ E(X)=\sum(x_i*P(x_i)) $$

• 평균과 기댓값의 차이

  • 평균은 전체의 값에 대한 중간 값
  • 기댓값은 전체가 아닌 확률로 계산한 평균

4. 이산환률 변수의 분산과 표준편차

• 평균은 값의 분포를 설명하지 못함
• 값이 떨어진 정도를 제공하는 개념 필요: 편차
• 편차: $Deviation = x_i - m$
  • m: mean
• $V(X)=\frac{\sum^{n}_{i=1} Deviation^2}{n}$
  • Variance
  • 편차 제곱의 평균
  • 분산이 크면 값은 떨어져 있음
• 기댓값과 분산
  • $E(X) = meam$
  • $V(X) = E[(X-m)^2]$
• 표준편차: Standard Deviation
  • $\sqrt{V(X)} = \sigma(X)$
  • $V(X) = E[(X-m)^2]=\sum(x_i-m)^2p_i$
  • 표준편차가 크면 값들이 평균으로 부터 많이 떨어져 있음을 의미

$$ \begin{align} V(X) &= E[(X-m)^2]=\sum(x_i-m)^2p_i \\
&= \sum(x^2_ip_i-2mx_ip_i+m^2p_i) \\
&= \sum(x^{2}_ip_i)-2m\sum(x_ip_i)+m^2\sum p_i \\
&= E(X^2)-2mE(X)+m^2 \\
&= E(X^2)-2mm+m^2 \\
&= E(X^2)-m^2 \end{align} $$

5. 평균과 분산의 성질

이산환률 변수의 평균과 표준 편차의 성질

• E(aX+b) (a, b는 실수, X는 확률 변수)

$$ \begin{align} E(aX+b) &= \sum_{i=1}^n(ax_i+b)p_i \\
&= \sum(ax_ip_i+bp_i) \\
&= \sum(ax_i p_i)+b \sum p_i \\
&= aE(X)+b*1 \\
&= aE(X)+b \end{align} $$

분산의 성질

• $V(aX+b) = a^2V(X)$
• $\sigma(aX+b) = \sqrt{a^2V(X)} = a\sqrt{V(X)}=a\sigma(x)$

성질 요약

• E(aX+b) = aE(X)+b
• V(aX+b) = $a^2$V(X)
• $\sigma(aX+b) = |a|\sigma(X)$